申請公派留學博士的審批過程可能會因國家及學校的具體要求而有所不同。以下將根據不同情況進行詳細解答。

首先，國家機構審批：在一些國家，例如中國，申請公派留學需要先經過國家相關機構的審批。在中國，這個機構是中國國家留學基金委員會（China Scholarship Council，簡稱CSC）。申請人需要在CSC規(guī)定的時間內提交申請材料，經過評審和審核，最終獲得國家的公派留學資格。

其次，學校審批：一旦獲得國家機構的審批，申請人需要再向目標學校提交申請材料。學校會根據自身的要求，例如招生計劃、學科方向和導師資源等，對申請人進行審查和篩選。學校可能要求申請人提供學術成績單、研究計劃、推薦信、個人陳述等材料，并進行面試或其他形式的評估。最終，學校會通過審核決定是否錄取該申請人。

需要注意的是，有些國家的公派留學項目由國家統一安排學校分配，也就是說學校審核的過程可能會簡化或者不存在。在這種情況下，申請人只需要通過國家機構的審批即可進入留學計劃。

此外，還有一些特殊情況：在少數情況下，一些學校可能與特定國家的國家機構合作，通過特定項目或渠道選拔公派留學博士生，這時申請人需要同時通過國家機構和學校的審批。

總結起來，申請公派留學博士是需要通過國家機構和學校的審批的。首先，申請人需通過國家機構的審核獲得公派留學資格，之后再經過目標學校的審批決定是否錄取。